Physics Note 2

这篇来写热学部分

温度是什么

热力学第零定律说 热平衡是一种等价关系. 从而温度是标识这个等价关系的等价类的名字.测量温度就算找个东西去和他热平衡,并且你可以读这个东西的状态,于是你自然就知道此时你被测量的东西和他状态相同.

然后定义温标,主要是气体温标,不能直接用恒压的体积之类的定义:因为不理想的气体体积关于压强/温度是非线性的.设体积为$V(T,p)$.它仍然假装一个线性性,从而可以在$p$下定义真实温度$T$的某个东西的温度是$T'=\dfrac{T_0'}{V(T_0,p)}V(T,p)$.物理学家发现这玩意关于$p$是线性的,且$p=0$的极限与物质无关,所以把它定义成了温度.即

$$\begin{gathered} T'=\lim_{p \to 0} \dfrac{T_0'}{V(T_0,p)} V(T,p) \end{gathered}$$

(这个式子里带'的是观测出来的温标给出的值,而不带的$T_0,T$是无法测量的真实温度).

模型

理想气体方程$pV=nRT$大家都知道了.

平均动能

把粒子当质点,碰撞是完全弹性.除碰撞外不受力 建模.

这个的推导方式是,考虑热平衡的一个系统有两类粒子质量分别为$m_1,m_2$,速度是$\vec v_1,\vec v_2$,它希望你随便碰撞后不传递动能才行.也就是$\bar \Delta=0$.

然后你列动量守恒/能量守恒,并假设粒子的运动各个方向完全独立,算一下会要求平均动能相同.

从而温度标识了平均动能.

然后它可以拓展的:对非质点这个动能是刚体平动动能,且当分子间/内势能出现时通过平衡时他们不应该变仍然能得到平均动能的结论.

然后它定义了$\dfrac32 kT=\bar E_k$.

压力

上面那个系数是为了理想气体的压力好看...

考虑容器内有一些粒子仍然在随便乱跑,则单位时间撞到一个壁上的粒子给壁的推力是什么.

于是你在这个壁上建系取$z$轴为这个壁的法向,则对速度是$v_z>0$的粒子,显然$dt$时刻面积$S$上应该有$n v_z S dt$个($n$是$v_z$为当前这个$v_z$的这部分粒子的密度,它假设了均匀分布).而粒子的冲量该变量是$2 nv_z S dt P$,产生压强$p=2nv_z P$.

所以你要求$\sum_{v_z>0} 2n(v_z)v_z P$.然后仍然假设$v_z>0,<0$的各占一半你可以把$2$去掉:$\sum_{v_z} n(v_z)v_z P$.如果代入$P=mv_z$可以得到你算的就算平均动能的$z$分量.然后因为你觉得各分量的平均动能也该相等所以你会说它占$\dfrac13$,得到

$p=\dfrac 23n \bar E_k$.这样得到$p=nkT$.这里$n$是数量密度.所以你也能看到它和理想气体状态方程的关系:$R=N_A k$(因为那里面$n$是摩尔数)

然后你还可以带入近光速时相对论的近似得到$p=\dfrac13 n \bar E_k$

麦克斯韦速率分布

假设$F(\vec v)$是速率分布函数.

todo 一脸不会考的样子.考了你也积不出来()

$$\begin{gathered} F(\vec v)=(\dfrac{m}{2\pi k T} )^{\frac32} e^{-\dfrac{mv^2}{2kT} } \end{gathered}$$

感觉应该可以只记$e$的部分剩下的自己归一化.还可以简化到$\exp (\dfrac{-3E_k}{2\bar E_k})$

玻尔兹曼能量分布

todo

$$\begin{gathered} n(\vec r)=n(\vec r=0)e^{-\frac{E_p(\vec r)}{kT}} \end{gathered}$$

能量按自由度分布

把自由度分成平动(3)转动(3)和振动(3n-6),然后说每个自由度上的能量一样.书上并没有说道理

然后还把振动当简谐运动,从而又有与平均动能相等的平均势能,所以内能变成了再加上这些.

然后注意自由度可能会缺少,比如一根棍就会少一个转动自由度. 比如刚体是没有所有振动自由度.

而由于动能的自由度少不了,所以每个分量的能量总是$\dfrac12 kT$

状态量

热力学定律