Topo Basic Note

基本概念

拓扑与拓扑基与邻域

拓扑就是在一个集合上定义哪些是开集,同时满足对有限交,无限并的封闭性.

于是闭集公里说的是你也可以定义哪些是闭集满足对有限并和无限交的封闭性

邻域有的定义为包含一个点的开集,有的定义为包含一个点的开集的超集,就是是否允许非开集邻域.

开集等价条件

一个集合是开集等价于其中所有点都有被这个集合包含的邻域

左推右显然,右推左就把所有邻域并起来说明相互包含.

$U$ 是 $\beta$ 生成开集的条件

$\beta$ 是集合 $X$ 上的拓扑基, $U\subset X$ 是 $\beta$ 生成的拓扑中的开集等价于 $\forall x\in U,\exists B_x\in \beta,s.t.\ x\in B_x\subset U$

左推右: $U$ 是一些 $B_x$ 的并,所以 $x\in U$ 一定有 $x$ 属于某个 $B_x$ .

右推左:把所有 $B_x$ 并起来.

生成相同拓扑的充分条件

对拓扑 $(X,T)$ 中的一个开集族 $A$ ,若对 $X$ 中任意开集 $U$ , $\forall x\in U$ ,都有 $\exists V_x\in A,x\in V_x\subset U$ ,则 $A$ 是一个拓扑基,且生成的恰好是 $(X,T)$

验证:显然对所有的 $x$ 你可以找到一个 $V$ 包含他,显然任意两个 $V_1,V_2\in A,V_1\subset V_2$ 是开集可以找到 $x\in (V_1\cap V_2)\in A$ ,是拓扑基.

显然你用开集不可能生成不是开集的东西,显然所有开集都有 $U=\bigcup_{x\in U}V_x$ ,就行了.

拓扑基的判定

$B$ 是拓扑基当且仅当:

并集是全集.
$B$ 中任意两个集合的交在 $B$ 中或为空.

显然

内部,外部

\begin{gathered} \operatorname{Int} A = \bigcup_{U\subset A,U \text{ is open}} U \\ \operatorname{Cl} A=\bigcap_{F\supset A,F \text{ is close}} F \end{gathered}

感觉内部外部的运算基本是符合直觉的.

属于闭包的条件

\begin{gathered} x\in \operatorname{Cl}A \\ \iff \forall x\in U,U \text{ is open} \iff U\cap A\ne \varnothing \end{gathered}

存在 $U$ 为开集包含 $x$ 且与 $A$ 不交,等价于 $(X-U)\supset A$ , $\operatorname{Cl}A\subset X-U$ ,等价于 $x$ 不在闭包中.所以反过来逆否命题也成立.

这个实际在说,闭包就是不能用一个开集把它和 $A$ 分开的点.

同理可以得到 $x \in \operatorname{Int}A$ 当且仅当 $x$ 的任意邻域和 $X-A$ 不交.

极限,导集

集合 $A$ 的聚点/极限点:点 $x$ 的任意去心邻域都与 $A$ 有交,则 $x$ 是 $A$ 的聚点.

导集: $A$ 的所有聚点组成的集合 $A'$ .

点列极限:若对数列 $x_n$ 和点 $p$ ,对 $p$ 的任意邻域总存在 $N$ 使得 $n>N$ 时 $x_n$ 全部落在 $U$ 中则 $x_n$ 的极限是 $p$ .

需要注意的是极限点和点列的关系问题:

点列不一定只有一个极限点:证明极限点唯一一般是要用到可分性的吧.比如平凡拓扑中任意点列都有任意点当极限点.
极限点不一定有点列趋近:比如 $R$ 上可数补拓扑中 $R-\{0\}$ 集合不存在集合趋向 $0$ :对任意点列,你总可以用一个可数补拓扑把这个数列中后面的所有项都删掉让它落不进去.

\begin{gathered} \operatorname{Cl}A=A\cup A' \end{gathered}

用刚才关于点属于闭包的性质: $x\in \operatorname{Cl}A$ 等价于 $x$ 的任意邻域里有 $A$ 中的点,而 $A'$ 是任意去心邻域里有 $A$ 中的点,则并上 $A$ 就一样了,很显然吧.

子空间

若 $(X,T)$ 是一个拓扑,若 $A\subset X$ ,定义 $(A,\{ S\cap A|S\in T \})$ 是 $A$ 上的拓扑.

容易验证它确实是个拓扑.且若 $A$ 是开/闭的,则子集的开/闭集在外面也是开/闭集.

原空间 $(X,T)$ 的一组基 $B$ ,对子空间 $A$ 交后得到的也是子空间的一组基

我们用上面那个判定拓扑基的条件,对于子空间的每个开集 $V\cap A,\forall x\in V$ ,存在 $x\in B_i\subset V$ ,于是 $\forall x\in V\cap A\forall x x\exists B_i\in (B_i\cap A)\subset (V\cap A)$ ,即证.

连续,同胚

连续映射:对任意 $f(x)$ 的邻域 $U$ ,存在 $x$ 的邻域 $V$ 使得 $f(V)\subset U$ 则称 $f$ 在点 $x$ 连续.

同胚:若 $f:A\to B$ 连续且为双射,则 $f$ 是同胚, $A,B$ 是同胚的.

连续的充要条件是把开集拉回开集,即 $U\text{ is open} \implies f^{-1}(U) \text{ is open}$

必要性:只要对 $U$ 中每个点 $x$ 使用定义得到 $x\in f(V_x)\subset U$ ,说明 $f^{-1}(U)=\bigcup_x V_x$ 即可.

充分性:直接令 $V=f^{-1}(U)$

那么也等价于把闭集拉回闭集.

也可以容易的说明连续函数复合仍然连续.

若 $\lim_{n \to \infty} x_n=x$ ,则 $\lim_{n \to \infty} f(x_n)=f(x)$

拆定义,则对任意 $f(x)$ 的邻域, $f^{-1}(f(x))$ 是 $x$ 的邻域, $x_n$ 只有有限项在这外面,则 $f(x_n)$ 只有有限项在 $f(x)$ 的任意邻域外面,就行了

书上还有一条性质是,连续映射满足 $x\in \operatorname{Cl}A$ 则 $f(x)\in \operatorname{Cl}f(A)$ .也是直接用定义就能证.

焊接引理

如果 $A,B\subset X$ 是 $X$ 的闭子空间, $X=A\cup B$ ,有 $f:A\to Y$ , $g:B\to Y$ ,且 $f,g$ 分别连续, $f=g$ 在 $A\cap B$ 成立,

则

\begin{gathered} h(x):X\to Y=\begin{cases} f(x),x\in A \\ g(x),x\in B \end{cases} \end{gathered}

是连续映射

几乎是显然的: $h$ 把 $Y$ 中的闭集拉回 $A,B$ 中的闭集,而因为 $A,B$ 是闭子空间, $A,B$ 中的闭集也是 $X$ 中的闭集,然后再并起来也是闭集,于是得证.

todo:同胚保持边界

乘积拓扑

乘积空间

对拓扑空间 $(X,T)$ 和 $(Y,S)$ ,其乘积空间 $X\times Y$ 上的拓扑是由所有形如 $U\times V$ 的集合生成的,其中 $U\in T,V\in S$ .

那么这个定义合法需要:

$B=\{U\times V| U\in T,V\in S\}$ 构成一组拓扑基

首先因为 $X\times Y\in B$ ,所以显然全覆盖了.

只要验证 $B$ 中任意两个集合的交,容易发现 $(U_1\times V_1)\cap (U_2\times V_2)=(U_1\cap U_2)\times (V_1\cap V_2)$ ,于是任意两个的交也在 $B$ 中,得证.

拓扑基的乘积是乘积空集的拓扑基

设 $(X,T)$ 的拓扑基为 $B_X$ , $(Y,S)$ 的拓扑基为 $B_Y$ ,令 $B=\{U\times V| U\in B_X,V\in B_Y\}$ .仍然验证两条拓扑基判定:你发现第一条显然,第二条和上个定理一样显然,得证.

对 $X,Y$ 各自相同的子空间 $A\subset X,B\subset Y$ , $A\times B$ 的乘积拓扑与 $A\times B$ 作为 $X\times Y$ 的子空间诱导的拓扑相同

子空间的拓扑基是拓扑基中的集合直接对应到子空间,所以由子空间诱导的拓扑的基是

\begin{gathered} \{(U\times V)\cap (A\times B)| U\in T,V\in S\} \end{gathered}

而乘积拓扑的基是

\begin{gathered} \{(U\cap A)\times (V\cap B)| U\in T,V\in S\} \end{gathered}

于是直接相等.

可分性

$T_1$ 可分:对任意两个不同的点 $x,y$ ,存在邻域 $x\in U,y\in V$ 满足 $y\notin U,y\notin V$ .

$T_2$ 可分:对任意两个不同的点 $x,y$ ,存在邻域 $x\in U,y\in V$ 满足 $U\cap V=\varnothing$ .

$T_3$ 可分:对任意点 $x$ 和闭集 $F$ 满足 $x\notin F$ ,存在邻域 $x\in U,F\subset V$ 满足 $U\cap V=\varnothing$ .

$T_4$ 可分:对任意两个不交的闭集 $F_1,F_2$ ,存在邻域 $F_1\subset U_1,F_2\subset U_2$ 满足 $U_1\cap U_2=\varnothing$ .

$T_2$ 可分对子空间

若 $(X,T)$ 是 $T_2$ ,则 $X$ 的任意子空间也是 $T_2$ .

显然.把你用 $X$ 的 $T_2$ 找到的和子空间交一下就好了.

$T_2$ 可分的两个空间乘积也是 $T_2$ 可分的.

同样显然.把你用 $X,Y$ 的 $T_2$ 找到的对应相乘即可.

度量空间是T4可分的

todo

开映射,闭映射

把开/闭集映到开/闭集的映射称为开/闭映射

\begin{gathered} p:X\times Y\to X,(x,y)\mapsto x \end{gathered}

是开映射

显然,考虑 $U\subset X\times Y$ 是开集,那么拆分到拓扑基知 $U=\bigcup_a (U_a\times V_a)$ ,于是 $p(U)=\bigcup_a U_a$ 是开的.

后面的内容

后来的课上觉得不喜欢边听边记...

20260409

局部紧

空间是局部紧当且仅当对任意点都存在一个紧集包含它的开邻域.

一点紧致化

若 $(X,T)$ 是T2空间,令 $Y=X\cup \{\infty\},T'=T\cup \{Y-C | C \text{ is compact in X}\}$ .

$(Y,T')$ 是拓扑空间:简单集合运算(紧集在这做任意交,有限并都是紧的,且T2保证紧集是闭集).容易验证.

$(Y,T')$ 在 $X$ 上诱导的子拓扑是一样的:T2空间中紧集是闭集,所以 $Y-C$ 都是开集,而显然 $T'$ 也没有比 $X$ 多什么开集.

$(Y,T')$ 是紧的:对一个 $Y$ 的开覆盖,你包含了 $\infty$ 的那个开集一定是一个 $Y-C$ ,所以剩下的是一个 $X$ 的紧集.那么它的开覆盖一定有限覆盖就完事了.

如果 $X$ 是局部紧则 $Y$ 是T2:任意两个 $X$ 中的点都是原来就能分开的,只要证明和 $\infty$ 能分开,而你写出来发现这恰好就说的局部紧的定义.

如果 $X$ 不是紧的,则 $\overline{X}=Y$ :转成找 $\operatorname{Int}\{ \infty \}$ ,而因为 $X$ 不紧所以这个点不是开集,于是只能是空集.

20260430

轨道空间

曲面(surface):定义曲面是拓扑空间满足 $T_2,C_2$ 且任意一点都有一个与 $E^2$ 或 $E^2_+$ 同胚的邻域,且这个同胚把该点映射到原点.( $E^2_+$ 是正半平面包含x轴)

曲面的可定向性:曲面可定向当且仅当不能把莫比乌斯带嵌入曲面

连接和(connected sum):两个曲面 $A,B$ 的连接和 $A\#B$ 是在其中各取一个开圆盘,把两个曲面分别挖掉这个开圆盘再粘合开圆盘的边界得到的新曲面.

连接和与取的圆盘和粘合方式无关

这个的证明思路大概是考虑:

一个曲面上选定一个开圆盘,可以通过自同构把这个开圆盘移动到另一个地方
粘合 $S^1$ 只有正反两种粘法

然后仔细考虑每一条.

定义 $T^2\#T^2\ldots \#T^2=nT^2$ .

每个定向连通紧致(闭)曲面都同胚于 $nT^2$ ,(定义 $n=0$ 时是球面).定义 $n$ 为曲面的亏格.

每个不定向连通紧致(闭)曲面都同胚于 $n {\mathbb P}^2$ .定义 $n$ 为曲面的亏格.

todo

${\mathbb P}^2\#{\mathbb P}^2$ 是克莱因瓶.

${\mathbb P}^2$ 删掉一个开圆盘是莫比乌斯环,两个莫比乌斯环的边界粘合是克莱因瓶.

todo more

\begin{gathered} T^2\# {\mathbb P}^2=3 {\mathbb P}^2 \end{gathered}

todo

三角形

曲面上的三角形是其一个同胚于 $E^2$ 上一个三角形闭区域的子空间.且这个 $E^2$ 三角形区域的点的同胚对应点是三角形的顶点,边的同胚对应的边是三角形的边.

三角剖分

有限多个三角形覆盖整个平面,且任意两个三角形不交或交于公共边或交于公共点.

闭曲面都有三角剖分

感觉你先证 ${\mathbb P}^2$ 和 $T^2$ 有,那么连接和也有是比较明显的.

欧拉示性数(Euler characteristic)

定义 $\chi(S)=$ 三角剖分的 $V-E+F$ .

欧拉示性数不依赖三角剖分的选取.

\begin{gathered} \chi(S_1\#S_2)=\chi(S_1)+\chi(S_2)-2 \end{gathered}

你的开圆盘就各取一个小三角形.

显然比粘贴之前少了 $2$ 个面,少了 $3$ 个点, $3$ 条边.于是就是少了 $2$ .

多边形表示:

二维的一个多边形 $p$ 把边成对粘合 $p/\sim$ 得到一个闭曲面,则这 $(p,\sim)$ 是这个闭曲面的多边形表示.

todo

任意闭曲面都有多边形表示

todo

20260507

多边形表示

多边形表示都可化简到标准型

拓扑流形

T1,T2,C2,且每个点都有一个邻域同胚于 $E^n$ 或 $E^N_+$ ,且这个同胚把 $x$ 映到原点.

拓扑流形可度量化

T2和局部紧推T3,T3和C2用Uryhson 度量化定理.

感觉该补一手点集拓扑啊

Uryhson

Titchz

Uryhson 度量化

SVK

自由积

融合自由积

SVK

对 $X$ 的两个开覆盖 $X=U\cup V$ ,若 $U,V,X,U\cap V$ 都道路连通, $U\cap V\ne \varnothing$ ,则有

\begin{gathered} \pi_1(X)= \pi_1(U)*_{\pi_1(U\cap V)}\pi_1(V) \end{gathered}

有全是包含映射组成的交换图

于是有

于是定义映射

\begin{gathered} \varphi:\pi_1(U)*\pi_1(V)\to \pi_1(X) \\ \prod_i [u_i][v_i]\mapsto \prod_i j_1^*([u_i])j_2^*([v_i]) \end{gathered}

证明 $\varphi$ 是满的:

取定 $U\cap V$ 内的基点 $x_0$ ,考虑任何一条 $X$ 中的道路 $f=x\rightsquigarrow x$ ,由勒贝格引理, $f=\prod f_i$ ,且 $\forall i,f_i\subset U\lor f_i\subset V$ .

由于路径连通,存在道路 $g_i=x_0\rightsquigarrow f_i(1)$ ,满足若 $f_i(1)$ 所在的集合与 $g_i$ 相同(即, $f_i(1)\subset U \implies g_i\subset U$ ).

于是 $[f]=([f_1][g_1]^{-1})\prod_{i=2}^{n-1}([g_{i-1}][f_i][g_i]^{-1})[g_{n-1}][f_n]$

20260618

有Universal cup的空间则对任意点都有一个邻域 $U$ 满足 $U$ 到原空间的嵌入映射诱导基本群的平凡同态.

零轮邻域

夏威夷耳环没有Universal Cover